平均律ピアノ (Equal Temperament Piano) v0.1


「白と黒で (On the Keyboard) v0.8」を使用した ある条件での オクターブ(A37-A49)の`うなり'です。
2:1です。

49a-oct-p1

4:2と 6:3です。

49a-oct-p2 49a-oct-p3

2:1,4:2,6:3 共に`うなり'が見えません。
画面の設定は「Straight」(直線のインハーモニシティ)で 「Clear」(セント値を 0)・「Grade」(傾き)を 4.0とします。
そのインハーモニシティ値とセント値です。

inha-4.0 cent-4.0

その時の 4度(A37-D42)と 5度下(A37-D30)です。

42d-4th-p1 30d-m5th-p1

「インハーモニシティの傾き (Igrade)」で 上と同じ条件にして それぞれの キー毎での倍音の`うなり'を見てみます。
「Straight」を選択・「Flat」でセント値を 0・ 「Grade」を 4.0としてオクターブを見てみます。

igrade-oct-40

4度と 5度下です。

igrade-4th-40 igrade-5th-40

オクターブは 芯線部では`うなり'が 0になりますが 4度・5度ではそうならないように見えます。

ではその時の オクターブ(A37-A49)で 片方のキーのセント値を変化させた場合の`うなり'を見てみます。
(A49の周波数を -40から +40まで 1[cent]づつ変化させた時の 倍音---ここでは 10:5まで---の`うなり'の数を表します。)

参照〉 Octave/第6回 Key Beats (平均律)

a37-oct-40-beat

その時の 0[cent]での周波数です。

倍数: A49x1 [Hz] : A37x2 [Hz] : 周波数差
-----------------------------------------
  1     440.14      440.14     7.8848e-07
  2     881.12      881.12     6.3138e-06
  3    1323.8      1323.8      2.1343e-05
  4    1769.0      1769.0      5.0704e-05
  5    2217.5      2217.5      9.9314e-05
-----------------------------------------

周波数のセント値をグラフにしてみます。

倍数:周波数[Hz]:セント値[cet]:補正値[cent]:補正後[cent]
--------------------------------------------------------
  1     440.14      0.550760      0.0           0.550760
  2     881.12      2.201988      0.0           2.201988
  3    1323.80      6.931696     -1.9550        4.976696
  4    1769.00      8.830343      0.0           8.830343
  5    2217.50      0.030411     13.6863       13.716711
--------------------------------------------------------
a37-oct-cent

倍音には確かにインハーモニシティがあります。

4度の場合です。

a37-4th-40-beat
倍数: D42x3 [Hz] : A37x4 [Hz] : 周波数差
---------------------------------------
  1      882.12      881.12     0.99811
  2     1771.0      1769.0      2.0191
  3     2673.5      2670.4      3.0864
  4     3596.5      3592.3      4.2244
  5     4547.5      4542.0      5.459
---------------------------------------

5度下の場合です。

a37-5th-40-beat
倍数: D30x3 [Hz] : A37x2 [Hz] : 周波数差
----------------------------------------
  1      440.64      440.14      0.49763
  2      882.12      881.12      0.9981
  3     1325.3      1323.8       1.5043
  4     1771.0      1769.0       2.0191
  5     2220.1      2217.5       2.5454
----------------------------------------

4度と5度は 0セントではない所で`うなり'が 0になっています。

参考までに 曲線のインハーモニシティで 傾き 0.087(2√2)・Tuningをシミュレーションした場合です。
オクターブです。

参照〉 Octave/第8回 Key Beats (Inharmonicity)

a37-oct-t-beat
倍数: A49x1 [Hz] : A37x2 [Hz] : 周波数差
---------------------------------------
  1      440.14     439.7      0.43774
  2      881.12     880.59     0.53381
  3     1323.8     1323.8     -0.056066
  4     1769.0     1770.7     -1.6814
  5     2217.5     2222.2     -4.6998
---------------------------------------

4度です。

a37-4th-t-beat
倍数: D42x3 [Hz] : A37x4 [Hz] : 周波数差
--------------------------------------
  1     881.84     880.59       1.25
  2    1771.9     1770.7        1.2672
  3    2678.6     2679.8       -1.2225
  4    3610.6     3618.2       -7.5783
  5    4576.8     4596.1      -19.29
--------------------------------------

5度下です。

a37-m5th-t-beat
倍数: D30x3 [Hz] : A37x2 [Hz] : 周波数差
---------------------------------------
  1     439.8       439.7       0.10101
  2     881.05      880.59      0.46684
  3    1325.2      1323.8       1.3649
  4    1773.7      1770.7       3.0681
  5    2228.1      2222.2       5.8571
---------------------------------------

では 片方のキーのセント値を変化させた Wave信号の FFTスペクトルを並べて 立体(3D)化して見てみます。

参照〉 Octave/第9回 make Wave

セント値は左から右へ -15から+15へ 1[cent]づつです。
周波数は奥から手前へ 0から5000(7000|4000)[Hz]です。
順に オクターブ・4度・5度下です。

3dfft-oct-40 3dfft-4th-40 3dfft-5th-40

Tuningを行う時の聞こえ方は このようになるかと思われます。

参考までに 曲線のインハーモニシティで 傾き 0.087(2√2)・Tuningをシミュレーションの場合です。
順に オクターブ・4度・5度下です。

3dfft-oct-t 3dfft-4th-t 3dfft-m5th-t

直線の傾き(Grade) 4.0のインハーモニシティのピアノを造れば 単音の倍音には インハーモニシティがあるのに 和音では インハーモニシティが無いかの様に(平均律 ?) 全ての倍音が 同時に共鳴する響きがすると思われます。

傾き(Grade)が 曲線の 0.087(2√2)と 直線 4.0のインハーモニシティ値を比べてみます。

inha-2r2-4

その時のセント値は 曲線の 0.087(2√2)では Tuningのシミュレーションを行っていて 直線 4.0では行わないのでインハーモニシティ値そのままとなります。

cent-2r2-4

試しに弦長などを計算してみました。順に弦長・番手・張力です。

参照〉 ピアノ-弦-設計入門 (Design)

eq-piano-length eq-piano-bante eq-piano-tension

弦の最長は 1364.19[mm] 最短は 38.46[mm]。 番手は 25〜12番。あり得ない値ではありません。
ただし 張力は一定ではなく 95〜30[kgf]なので 鉄骨などの設計は難しいかも知れませんし、 調律もしづらいかも知れません;
メーカーさん 如何がでしょう?

変更履歴:
v0.1['10/09/26]


Dobashi.M
Last modified: 4月 27日 土 17:15:00 2024 JST